仙仙和悠然小天亲嘴:f(x) = f(ax) 什么样的函数满足这样的关系
来源:百度文库 编辑:高校问答 时间:2024/10/06 17:04:03
f(x)=f(ax) (a是实数)
请达人在(-OO,-1)U{-1}U(-1,0)U{0}U(0,1)U{1}U(1,OO)范围内讨论
主要帮我看看当a>1和-1<a<0的情况。
(给我提示下思路也好,谢谢,谢谢!!)
已经知道的有:
a=1 时, f(x) = f(x) 恒等
a=0 时, f(x) = C
a=-1时, f(x) = f(-x) 是偶函数关系式
当a>1时
由f(x)向右推倒有 f(x)=f(ax)=f((a^2)*x)=……=f((a^n)*x)
同理向左推倒有 f(x)=f(a^(-1)*x)=……=f(a^(-n)*x)
能得到当 n->+OO时 左侧出现lim(n->+OO时) ((a^(-n))*x)/((a^(-(n-1)))*x) = 1
同理当n->0时 右侧的 lim(n->O时) ((a^n)*x)/(a^(n-1)*x) = 1
说明 当a>1时 x->0和x->+OO时 f(x)无论x取何值都相等
那么 (0,+OO)之间的部分该怎么考虑呢?
对不起,第一次补充时没表达清楚
想问如果在(0,+OO)任取,比如x = 3,那么f(x)=f(3)也等于f(0)或f(OO)吗?0 而且f(0)与f(OO)会相等吗?
对如果上面的推导正确:
0<a<1可以证明,但a<0的情况仍无法设想,图像是不是在跳跃而且离原点越远频率越高?
020624补充:当a<0时 a^n 是关于x轴震荡的啊,不连续,肯定没导数的;
030601补充:我的补充问题还是没有答啊?
请达人在(-OO,-1)U{-1}U(-1,0)U{0}U(0,1)U{1}U(1,OO)范围内讨论
主要帮我看看当a>1和-1<a<0的情况。
(给我提示下思路也好,谢谢,谢谢!!)
已经知道的有:
a=1 时, f(x) = f(x) 恒等
a=0 时, f(x) = C
a=-1时, f(x) = f(-x) 是偶函数关系式
当a>1时
由f(x)向右推倒有 f(x)=f(ax)=f((a^2)*x)=……=f((a^n)*x)
同理向左推倒有 f(x)=f(a^(-1)*x)=……=f(a^(-n)*x)
能得到当 n->+OO时 左侧出现lim(n->+OO时) ((a^(-n))*x)/((a^(-(n-1)))*x) = 1
同理当n->0时 右侧的 lim(n->O时) ((a^n)*x)/(a^(n-1)*x) = 1
说明 当a>1时 x->0和x->+OO时 f(x)无论x取何值都相等
那么 (0,+OO)之间的部分该怎么考虑呢?
对不起,第一次补充时没表达清楚
想问如果在(0,+OO)任取,比如x = 3,那么f(x)=f(3)也等于f(0)或f(OO)吗?0 而且f(0)与f(OO)会相等吗?
对如果上面的推导正确:
0<a<1可以证明,但a<0的情况仍无法设想,图像是不是在跳跃而且离原点越远频率越高?
020624补充:当a<0时 a^n 是关于x轴震荡的啊,不连续,肯定没导数的;
030601补充:我的补充问题还是没有答啊?
f(ax)就是把f(x)的图像以y轴为中心,沿x轴的方向缩小到1/a于原图像的大小。
那么什么图像可以以y轴为中心,沿x轴方向伸缩而形状不变呢?可能是f(x)=常数,或者是f(x)在x不等于0的情况下是常数,x=0的情况下取另外的值。
如果你已经证明了a>1的情况,那么取b=1/a不就可以证明0<b<1的情况了么?
f(ax)就是把f(x)的图像以y轴为中心,沿x轴的方向缩小到1/a于原图像的大小。
那么什么图像可以以y轴为中心,沿x轴方向伸缩而形状不变呢?可能是f(x)=常数,或者是f(x)在x不等于0的情况下是常数,x=0的情况下取另外的值。
如果你已经证明了a>1的情况,那么取b=1/a不就可以证明0<b<1的情况了么?
有无穷多个
比较显然的,比如在a是有理数的时候,Direchlet函数是满足提议的(有理数函数为1,无理数函数为0)
处处不连续函数有解的
关于楼上几位用极限理论是不严格的,因为没有说过连续性
n -> +无穷大时:
1. -1<a<0时,a^n -> 0
2. a<-1时,a^(-n) -> 0
所以一样可以证明f(x)=f(0)的
对,另外连续性要有一些限制才能在方程两端同时取极限
关于a<0时a^n不连续的问题我想这里可以仅仅考虑自然数上的极限,可以将n分奇偶讨论
如果a是属于任意的常数,那么可以证明f(x)是连续的,进而可以证明f(x)是可导的,再由f(x)=f(ax)及复合函数求导法则,可以推导出f(x)=C,C为常数。
f(x)=C
是常数把
f(x) = f(ax) 什么样的函数满足这样的关系
已知函数f(x)满足条件f(ax-1)=lg(x+2)/(x-3) .求f(x)的表达式,函数f(x)的定义域
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,曲线y=f(x)
f(x)=ax+b是不是线性函数?
函数f(x)=ax/(2x+3)满足f(f(x))=x,则常数a=
已知函数f(x)=ax*+bx+c,若f(0)=1,且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=
f(x)=-x^3+ax^2+b,若函数 f(x)在[0,2]上为增函数,x=2 是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)<=-2
函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)作x=h(t)的代换,则总不改变函数f(x)值域的代换是
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2^x)和f(3^2)的大小关系是
设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0,当0〈a《1时,求函数f(x)的最小值?